Balade irlandaise

broom2 Si d’aventures vous allez visiter la capitale de l’Irlande, il y a fort à parier que vous n’irez pas admirer Broom Bridge. Ce petit pont de pierre, qui enjambe le Royal Canal au nord-ouest de Dublin, ne fait pas vraiment partie des attractions touristiques majeures de la ville:  trop loin des pubs de Temple Bar, des belles pelouses de Trinity College ou des vitraux de la cathédrale Saint-Patrick, on ne peut y admirer qu’une voie ferrée et des hangars. Comme son symétrique le Grand Canal, le Royal Canal relie la rivière Liffey, à l’est de Dublin, à la rivière Shannon au centre de l’Irlande. Après avoir longtemps servi de dépotoir, et failli devenir une autoroute, le canal est aujourd’hui nettoyé et ses rives offrent une promenade champêtre à la périphérie de la ville. C’est cette promenade que fait Sir William Hamilton, président de l’Académie Royale Irlandaise, en compagnie de sa femme, le lundi 16 octobre 1843.

Si nous connaissons les détails de sa promenade, c’est parce qu’il la raconte en détail à son fils, dans une lettre écrite peu avant sa mort. En 1843, il a 38 ans et est déjà un scientifique de renom, notamment depuis qu’il a publié une nouvelle formulation de la mécanique de Newton, promise à un avenir exceptionnel (et qui porte encore son nom). Ce matin-là, il se promène avant d’aller présider la séance à l’Académie. Il confesse qu’en marchant c’est avec distraction qu’il écoute sa femme lui parler, un problème sous-jacent occupant son esprit. Ce problème, il l’a d’ailleurs en tête depuis plus de dix ans… et en ce mois d’octobre il en parle même tous les matins au petit déjeuner, avec ses fils.

Quel est l’objet de cette obsession ? Depuis plusieurs dizaines d’années, les mathématiciens ont pris l’habitude d’utiliser les nombres complexes, en adjoignant aux nombres réels « habituels » les nombres imaginaires (et le premier d’entre eux, i, défini par i² = -1). De la sorte, on peut trouver des solutions à toutes les équations polynomiales, même celles du genre x² = -4. Depuis le début du XIXe siècle, on décrit aussi un nombre complexe de manière géométrique, comme une paire de nombres, c’est-à-dire comme les coordonnées d’un vecteur dans le plan. Ce que Hamilton aimerait faire, c’est aller plus loin: il voudrait généraliser à nouveau les nombres complexes, et obtenir de nouveaux objets qui seraient équivalents à des triplets de nombres, c’est-à-dire aux coordonnées des vecteurs dans l’espace. Malheureusement, tous les matins d’octobre 1843, il est obligé d’avouer à ses fils qu’il n’y parvient pas: il échoue à définir des règles cohérentes pour la multiplication de tels objets.

Fermer le circuit électrique

Et c’est donc en approchant de Broom Bridge, le long du canal, et en écoutant distraitement sa femme, qu’il trouve soudain la solution. Comme Archimède dans sa baignoire, il dit ressentir le jaillissement d’une «étincelle», comme si un «circuit électrique s’était soudainement refermé». Ce qui est plus surprenant est qu’en fait il n’a pas trouvé la solution à son problème initial ! Au lieu de trouver comment multiplier des triplets, il a l’intuition qu’il lui faut aller encore plus loin, et considérer des quadruplets de nombres ! Sur le moment, il ne peut résister à commettre un acte qu’il qualifie d’«inphilosophique»: il grave au couteau, sur une pierre du pont, la formule de multiplication des quaternions:

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Son graffiti n’a pas tenu longtemps, mais il a depuis été remplacé par une plaque commémorative. Les quadruplets de Hamilton sont une généralisation des nombres complexes: au lieu d’un nombre imaginaire i, il en introduit trois: i, j et k. En ajoutant la partie réelle, il décrit donc un quaternion comme l’association d’un vecteur de l’espace [1] et d’un scalaire (un nombre réel). Les quaternions peuvent donc servir à décrire, non pas les vecteurs de l’espace, mais les rotations géométriques: on tourne d’un certain angle (la partie réelle) autour d’un certain axe (défini par la partie vectorielle). Mais pour réussir à obtenir des opérations cohérentes, Hamilton a dû franchir un pas important: il faut abandonner la commutativité de la multiplication, et introduire les règles suivantes

Autrement dit, si a et b sont deux nombres quaternions, alors le produit a x b n’est pas égal à b x a !! L’ordre dans lequel on fait la multiplication est important. Ce n’est pas très intuitif (avec les nombres « usuels », on a bien sûr 2 x 3 = 3 x 2), et Hamilton est alors le premier à formaliser un ensemble muni de telles règles. Mais rien de plus logique si l’on se réfère aux rotations: tourner d’abord autour de l’axe x, puis autour de l’axe y, ça ne revient pas au même que de tourner d’abord autour de y puis autour de x [2].

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Une postérité mitigée

L’invention, ou la découverte, des quaternions par Hamilton a joué un rôle important dans le développement de l’algèbre au XIXe siècle. Toutefois, les notations vectorielle et matricielle ont fini par l’emporter sur le formalisme des quaternions. Alors que l’opérateur hamiltonien (issu de ses recherches en mécanique) a été un outil fondamental du développement de la mécanique quantique au début du XXe siècle, les rotations de l’espace y seront plutôt représentées par les matrices de Pauli que par les quaternions de Hamilton. Les circonstances de leur découverte restent toutefois un exemple marquant de l’histoire des sciences. Finalement, cela vaudra peut-être la peine, de passage à Dublin, d’aller faire un petit pèlerinage au Broom Bridge [3]… Peut-être juste pour se souvenir que la solution à dix années de casse-tête vient parfois simplement en se promenant au bord de l’eau.


Aller plus loin


[1] Ce faisant, il donne aussi la première formalisation moderne des vecteurs.
[2] Pour le vérifier, rien de plus simple: prenez deux dés à 6 faces, et posez-les sur la table, le 1 vers le haut, le 4 vers vous. Tournez le premier dé d’un quart de tour vers la gauche, puis d’un quart de tour vers vous: la face visible est le 2. Avec le second dé, faites les opérations dans l’ordre inverse: c’est le 3 qui se retrouve vers le haut.
[3] Les mathématiciens de l’Uuniversité voisine de Maynooth font d’ailleurs régulièrement un tel pèlerinage sur les traces de Hamilton, depuis son observatoire jusqu’à Broom Bridge.

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