Des abeilles, des bulles, des nageurs

Une fois n’est pas coutume, c’est un geste à la fois architectural et sportif qui inspire ce billet: le Water Cube, ou Centre National de Natation de Pékin. Ce bâtiment, dont les façades sont particulièrement spectaculaires de nuit, a été conçu par le cabinet d’architectes australien PTW pour accueillir les épreuves de natation lors des Jeux Olympiques de 2008 organisés dans la capitale chinoise [1]. Quoi de scientifique là-dedans ?

Le souffleur de bulles

Un très ancien problème, à la fois mathématique et physique: celui des surfaces minimales. Pourquoi les bulles de savon que soufflent les enfants sont-elles rondes ? Parce que fabriquer une surface de contact entre l’eau savonneuse et l’air, ça coûte de l’énergie: on dit que l’eau savonneuse possède une tension superficielle. Or pour fabriquer une bulle il faut faire deux surfaces de contact (une à l’intérieur, une à l’extérieur du mince film d’eau), et il faut le faire en dépensant le moins d’énergie possible. Comme en soufflant une bulle, on impose qu’elle emprisonne un certain volume d’air, elle va prendre la forme qui minimise sa surface pour un volume donné. On peut montrer que cette forme n’est ni le cube, ni le tétraèdre, ni une patatoïde: c’est la sphère.

L’architecture des abeilles

Compliquons les choses: que va-t-il se passer lorsqu’on fabrique une mousse, c’est-à-dire plein de bulles collées les unes aux autres ? Pour simplifier la question, on suppose que toutes les bulles font le même volume. Pour simplifier encore, on peut commencer par se poser la même question en deux dimensions: comment dessiner des cellules, toutes de même surface, de façon à ce que les parois aient une longueur totale minimale ? La solution est connue depuis longtemps puisqu’il suffit d’observer les nids d’abeille [2]: il faut dessiner des cellules hexagonales. Il est assez facile de démontrer que le pavage hexagonal est plus économique que les deux seuls autres pavages par des polygones réguliers (avec des triangles équilatéraux et avec des carrés). En revanche, il l’est beaucoup moins de démontrer que c’est véritablement la meilleure solution, que le pavage soit régulier ou non, et que les côtés soient droits ou courbes. Et c’est seulement en 2001 que le mathématicien américain Thomas Hales a complété la démonstration de ce théorème (dit du nid d’abeille) !

Lord Kelvin finit médaillé d’argent !

On voit donc qu’en deux dimensions la question n’est déjà pas triviale… et 3D ? Eh bien elle est tellement compliquée qu’elle n’a toujours pas été résolue ! Comment donc remplir l’espace avec des bulles toutes de même volume, en minimisant les surfaces des films qui les séparent ? En 1887, le grand physicien britannique Lord Kelvin propose un pavage par un octaèdre tronqué aux coins, présentant donc 8 faces hexagonales et 6 petites faces carrées. Ces faces doivent être légèrement incurvées pour que les conditions d’équilibre de la mousse, formulées peu de temps avant par le physicien belge Joseph Plateau, soient respectées. Pendant plus d’un siècle, tout le monde est convaincu que la conjecture de Kelvin est correcte. Cependant, si personne ne parvient à trouver une meilleure solution, personne non plus n’arrive à la démontrer.

Et en 1994, patatras ! À Dublin, le physicien irlandais Denis Weaire et son étudiant Robert Phelan proposent une nouvelle géométrie, nettement plus compliquée: il faut assembler 6 polyèdres à 14 faces (12 pentagones et 2 hexagones) combinés à 2 dodécaèdres (12 faces) irréguliers.  Cette cellule complexe s’inspire de certaines structures cristallographiques observées dans les clathrates ou certaines phases métallurgiques. En courbant un peu certaines faces, les règles de Plateau sont bien vérifiées, et la surface totale des films dans cette cellule est… inférieure de 0,3% à celle de Kelvin ! Contre toute attente, la conjecture du grand physicien du XIXe siècle était donc fausse !


Quoi de neuf 20 ans plus tard ? La structure de Weaire-Phelan détient toujours le record. Mais personne n’a encore réussi à démontrer qu’elle est bien LA meilleure solution ! Le problème mathématique reste ouvert. Le problème physique l’est encore également: contrairement à la cellule de Kelvin, celle de Weaire-Phelan est très difficile à observer dans une mousse de savon naturelle, parce qu’elle se peut pas s’appuyer sur une paroi lisse. C’est d’ailleurs sans doute ce qui a plu aux architectes du Water Cube, quand ils ont construit son armature sur le modèle  de la structure de Weaire-Phelan: la coupe faite dans la «mousse» donne un aspect complètement aléatoire aux motifs de la façade éclairée (des carrés, des triangles, des hexagones irréguliers et de toutes tailles…), alors que la structure interne, en 3D, est bel et bien parfaitement régulière.


Aller plus loin

  • Le Water Cube se visite, comme le Nid d’oiseau, dans le Parc Olympique à l’extérieur de Pékin. Il est plus spectaculaire de nuit, une fois sa façade éclairée. Plus d’images du Water Cube ici et ici.
  • Les mousses de savon sont un sujet de recherches récent mais très actif en mathématiques, physique, physico-chimie et biophysique. L’une des meilleures références actuelles est l’ouvrage collectif en français: Les mousses: structure et dynamique (éditions Belin). Chez le même éditeur, sur les problématiques de tension de surface en général: Gouttes, bulles, perles et ondes (de Gennes, Brochard-Wyart, Quéré).
  • Plus de détails sur la conjecture de Kelvin sur le site Images des Mathématiques du CNRS.

[1] Épreuves au cours desquelles le français Alain Bernard a d’ailleurs été sacré champion du monde du 100m nage libre.
[2] Charles Darwin en parle d’ailleurs dans l’Évolution des espèces, en supposant que les abeilles dépensant le moins de cire possible pour les parois des alvéoles ont été sélectionnées au fil des générations. En 2013 des chercheurs ont montré que les abeilles fabriquaient en fait des alvéoles grossièrement circulaires, qui sous l’effet des contraintes mécaniques et de la chaleur prenaient spontanément une forme hexagonale.

2 réflexions sur “Des abeilles, des bulles, des nageurs

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