La première équation

Nombreux sont ceux qui font la grimace en les voyant, ou même des cauchemars en y repensant. Si ceux-ci n’y voient que des hiéroglyphes barbares, d’autres parviennent à en percevoir la beauté ou le pouvoir, et passent leur vie à en écrire des pages et des pages. Que vous les aimiez ou pas, nul ne peut plus s’en passer: notre monde est tout entier bâti sur des équations. Et, finalement, les uns comme les autres n’y font presque plus attention: tout le monde regarde E=mc² comme un objet familier.

equ_relat

Et après tout, quoi de plus normal: qu’est-ce qu’une équation, sinon une simple phrase, sujet-verbe-complément ? « x < 2 » ne fait rien d’autre que traduire de manière concise «la grandeur x est inférieure à 2». Mais évidemment la phrase que traduisent, par exemple, les 4 équations de Maxwell ci-dessous

serait un tantinet plus fastidieuse à écrire. Ainsi la simple introduction de quelques symboles graphiques peut faciliter grandement le travail et, non seulement accompagne, mais impulse le développement de nouveaux domaines scientifiques. Après tout, si les grecs et les romains étaient plus à l’aise en géométrie qu’en algèbre [1], les notations n’y étaient sans doute pas pour rien: allez poser le calcul de XVIII fois XLIV !

Pourquoi ne pas faire des phrases ?

Mais adopter la numération arabe et l’écriture décimale ne suffit pas. Prenons par exemple un extrait du Dialogue sur les deux grands systèmes du monde [2], dans lequel Galilée expose la première théorie de la relativité du mouvement. Ici il étudie la chute des corps, où la distance parcourue augmente comme le carré du temps:

A et C sont les nombres des espaces, B le nombre du temps: on cherche le quatrième nombre, qui est, lui aussi, un nombre du temps. Or nous savons que la proportion qu’il y a entre les espaces A et C doit exister aussi entre les carrés du temps B et du temps qu’on cherche; donc, en vertu de la règle de trois, on multipliera C par le carré de B et on divisera le produit par A; le quotient sera le carré du nombre cherché, et sa racine carrée sera le nombre cherché lui-même. Vous voyez que c’est facile à comprendre.

Facile, vraiment ? Malheureusement pour nous, l’usage des signes mathématiques qui nous paraissent tellement familiers aujourd’hui n’est pas encore assez répandu quand Galilée rédige son traité. Autrement, il aurait tout simplement écrit:

galilee1

N’est-ce pas plus élégant, plus concis et plus lisible que les 5 lignes du texte original ? Impossible de lire aujourd’hui ces 600 pages sans éprouver immédiatement le besoin de transcrire ces phrases labyrinthiques en quelques signes sur un bout de papier. Et naturellement, une grande partie des développements de la physique actuelle serait totalement infaisable si chaque équation devait être écrite en toutes lettres [3]. Pourtant il a fallu attendre assez longtemps pour que les équations finissent par prendre la forme qu’on leur connaît aujourd’hui.

Mieux que la roue ?

Si les anciens Égyptiens, le Grec Diophante ou les algébristes arabes ont déjà introduit l’idée de désigner une grandeur par une lettre, ils ne se dispensent pas pour autant des phrases: ainsi, le traité fondateur Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison [4], publié au IXe siècle par le grand mathématicien perse AlKhwarizmi, décrit-il en toutes lettres les procédures de résolution des équations du premier et second degré à une inconnue.

Vers 1360, le Français Nicolas Oresme commence à utiliser le signe +, apparu probablement comme une déformation manuscrite du mot et (un peu comme l’esperluette &). Un siècle plus tard, le mathématicien Allemand Widmann reprend cette notation et, dans son livre (imprimé) d’arithmétique à destination des marchands, doit aussi inventer le signe pour noter les dettes ! Les deux notations s’ancrent dans les usages, notamment chez les mathématiciens italiens de l’époque.

Et enfin, le savant Gallois Robert Recorde fait un pas de géant dans son ouvrage [5] The Whetstone of Witte: il invente le signe = en argumentant ainsi:

Et pour éviter la répétition fastidieuse des mots « est égal à », j’écrirai une paire de parallèles (deux lignes jumelles) de même longueur, car 2 choses ne peuvent pas être plus égales.

Nous sommes en 1557: pour la première fois dans l’Histoire, quelqu’un peut écrire

unplusun

Le doigt dans l’engrenage

Les inventions graphiques s’enchaînent au gré des besoins. Et à partir du XVIe siècle justement les mathématiciens ne cessent de créer de nouveaux besoins (qu’ils soient motivés par la physique ou le commerce): à chaque nouvelle invention, une nouvelle notation. Et il faut en plus commencer par rattraper le retard des symboles sur les concepts déjà existants. Avant même le signe =, l’Allemand Rudolff avait introduit la notation  pour les racines carrées. Vers 1620 l’Anglais William Oughtred introduit le signe x pour les multiplications [6]. Les puissances notées en exposant (comme pour x²) viennent ensuite. Puis la barre de division, les signes < et >, la virgule des nombres décimaux, la différentielle d, l’intégrale , l’infini. Puis des notations pour les ensembles, pour les vecteurs, pour les tenseurs, etc, etc. Les imprimeurs comme les lecteurs sont soulagés. Le grand élan des maths, et avec elles de tant d’autres domaines, peut continuer sur sa lancée.

Au secours des typographes

Encore que… inventer des symboles, c’est pratique. Pouvoir les imprimer, c’est mieux. Et évidemment les fractions à cinq étages, les flèches sur les vecteurs, les symboles tarabiscotés, les lettres grecques (ou pire) à tout va, ça ne facilite pas la tâche des typographes. Ni des écrans d’ordinateur, d’ailleurs: voyez comme les symboles contenus dans le paragraphe ci-dessus, en html basique, sont très moches. Heureusement, en 1977 arrive Donald Knuth. Professeur d’informatique à l’Université Stanford, il a écrit la bible de sa discipline: The Art of Computer Programming. Et, devant le rendu typographique médiocre des symboles mathématiques par les logiciels courants, il crée de toutes pièces le logiciel libre TeX (qui sera ensuite prolongé en LaTeX par son compatriote Leslie Lamport). Certes, ce n’est pas le traitement de texte le plus intuitif pour les débutants, mais pour automatiser une mise en page soignée et surtout imprimer des équations compliquées, le résultat est incomparable. Voyez plutôt:

equ

codecogseqn

C’est beau, c’est net, c’est fluide. Cédric Villani écrit de Knuth qu’il est «probablement la personne vivante qui a le plus changé le quotidien des mathématiciens» (et aussi des physiciens, et d’autres). Grâce à  lui, désormais, ce qui se conçoit bien non seulement s’énonce clairement, mais en plus se typographie élégamment.


Aller plus loin

  • Enfoncez-vous un peu plus avant dans la Forêt des Mathématiques et explorez routes et dédales de cette Histoire des mathématiques de A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, dans la collection Points Sciences.
  • Dans la même collection, malheureusement assez peu illustrée, une Histoire de la science arabe, de A. Djebbar et J. Rosmorduc: pour un peu plus de matière sur les mathématiciens, et les autres savants, du monde islamique.
  • Si vous voulez vous mettre à LaTeX, faire des mises en page limpides, des bibliographies automatisées, des tableaux impeccables et de belles équations: LaTeX pour l’impatient, chez H&K.

[1] Ce que traduit déjà l’étymologie de nos mots français: grecque pour la géométrie, arabe pour l’algèbre.
[2] C’est-à-dire le système géocentrique de Ptolémée et celui, héliocentrique, de Copernic.
[3] Cela ne signifie pas non plus que les idées en physique (ou ailleurs) ne s’expriment plus en langage courant ! Avant d’écrire les équations de la Relativité, il faut en énoncer les postulats, avec des phrases.
[4] L’opération de restauration, qu’Al-Khwarizmi définit comme permettant de passer de x²-2x+1=0 à x²+1=2x, s’appelle en arabe al-jabr, ce qui donnera notre algèbre. Le nom de l’auteur lui-même sera hellénisé pour donner les algorithmes
[5] Étonnamment écrit en anglais et non en latin.
[6] Et on lui doit aussi l’invention de la règle à calcul chère à nos (grands-)parents. 

Une réflexion sur “La première équation

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