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Nous sommes le mercredi 8 août 1900, il est un peu plus de 9h. Il fait très chaud dans l’amphithéâtre de la Sorbonne. L’orateur parle en allemand. Il a 38 ans, porte une barbiche, de petites lunettes rondes et sûrement une queue-de-pie. Il vient de Göttingen. C’est le mathématicien David Hilbert.

Cet été-là, Paris organise sa cinquième Exposition Universelle, censée faire le bilan du siècle qui s’achève. Pour l’occasion, on a notamment édifié la gare d’Orsay, le Petit et le Grand Palais, avec son immense verrière révolutionnaire. Le bail de la Tour Eiffel est prolongé. On expose le moteur Diesel, les premiers escalators, des films parlants, la soupe Campbell, une lunette astronomique longue de 60 m.  Et dans le même élan, les grandes conférences s’enchaînent dans la capitale: aux philosophes ont donc succédé les participants au II^e Congrès International des Mathématiciens. De l’avis général, l’organisation n’est pas très bonne: il fait trop chaud, il y a trop de sessions parallèles et pas assez de temps pour les débats. Seul restera dans les mémoires le discours de Hilbert.

La Liste

À l’approche du congrès parisien, David Hilbert est déjà un mathématicien de grand renom, et a commencé à créer une véritable école autour de lui à Göttingen. Alors qu’il prépare sa conférence plénière, son collègue Hermann Minkowski l’a prévenu: il serait judicieux de faire mieux qu’un bilan consensuel et ronflant du siècle écoulé. Judicieux, mais plus délicat:

Beaucoup plus séduisant serait de regarder vers l’avenir, autrement dit de caractériser les problèmes vers lesquels les mathématiciens devraient se tourner dans l’avenir. De cette façon, il se peut que des personnes continuent de parler de votre discours après plusieurs décennies. Évidemment, la prophétie n’est pas chose facile.

Pari difficile, mais pari gagné, donc, pour Hilbert, puisque nous en parlons encore, plus d’un siècle après ! Et il faut bien admettre que le discours commence fort, et lyrique:

Qui ne soulèverait volontiers le voile qui nous cache l’avenir afin de jeter un coup d’œil sur les progrès de notre Science et les secrets de son développement ultérieur durant les siècles futurs ? Dans ce champ si fécond et si vaste de la Science mathématique, quels seront les buts particuliers que tenteront d’atteindre les guides de la pensée mathématique des générations futures ? Quelles seront, dans ce champ, les nouvelles vérités et les nouvelles méthodes découvertes par le siècle qui commence ?

Hilbert a donc décidé de lancer le siècle mathématique en soulevant une liste de 23 problèmes qu’il juge intéressants. S’il n’en expose que 10 à l’oral, la transcription en français de son intervention vient rapidement compléter son discours. Et il y en a pour tous les goûts: géométrie, théorie des nombres, analyse, topologie.

Certes, Hilbert pose des questions —fait inhabituel dans un congrès où d’ordinaire on montre des résultats. Mais il attend des réponses ! Il s’oppose fermement à l’idée émise un peu auparavant par son compatriote Emil du Bois Reymond, qui avait affirmé: «le scientifique doit accepter une fois pour toutes le verdict dur: Ignorabimus» (nous ne saurons pas). Hilbert professe exactement l’inverse: «Wir müssen wissen, wir werden wissen»: « nous devons savoir, nous allons savoir ». Alors plus d’un siècle après, où en sont ses 23 problèmes: savons-nous ?

Problèmes résolus, problèmes en suspens

Tout d’abord, coupons court au suspense: Hilbert n’a résolu lui-même aucun de ses problèmes ! Ensuite, oublions les problèmes IV et VI, un peu trop vaguement posés: on en a donc 21. Avant que n’éclate la première guerre mondiale, les choses ont déjà eu le temps d’avancer: les problèmes III, XIX-XX-XXIII (jumelés) et XXII sont résolus (le troisième problème [1] l’étant d’ailleurs par un étudiant de Hilbert). L’entre-deux-guerres est difficile: les mathématiciens français ont été décimés au front, et les mathématiciens allemands subissent un isolement forcé après l’Armistice. Malgré tout les problèmes VII, IX, XI, XV et XVII (et une partie du XVIII) trouvent réponse. En un demi-siècle, les mathématiciens du monde entier ont donc fait la moitié du chemin. Hilbert, qui meurt à Göttingen en 1943, peut se féliciter des efforts de ses collègues.  Quoique… on y reviendra.

Dans la deuxième moitié du siècle, les mathématiciens s’attaquent aux questions ouvertes. Les problèmes V, X, XIII, XIV, XVIII et XXI cèdent à leur tour. Mais il est assez symptomatique que presque tous soient résolus par la négative: Hilbert voulait trouver un algorithme pour déterminer si une équation diophantienne a des solutions ? On démontre qu’il n’en existe pas. La conjecture sur les équations du 7^e degré ? Fausse ! Celle du quatorzième problème: fausse aussi ! Mais évidemment une réponse, même négative, est une réponse.

Aujourd’hui il s’est écoulé près de 20 ans depuis la dernière contribution majeure à la liste (la démonstration en 1998  de la conjecture de Kepler, corollaire du problème XVIII [2]). Et donc seulement 3 des problèmes de Hilbert restent encore très ouverts: le VIII (l’hypothèse de Riemann et la conjecture de Goldbach [3]), et le XII (surnommé le « rêve de jeunesse de Kronecker ») et le XVI qui n’ont été résolus que partiellement. On peut donc dire que la liste était parfaitement bien calibrée pour le siècle mathématique qu’elle annonçait.

La chute

Bref, le bilan est plutôt bon. Oui mais voilà… la liste, et son sous-texte philosophique, allaient aussi (et peut-être surtout), bien malgré son auteur, soulever des questions inattendues. Si vous avez bien suivi le décompte, vous aurez noté qu’il reste deux problèmes dont nous n’avons pas parlé. Et pas n’importe lesquels: Hilbert les avait placés en tête de sa liste ! Le problème numéro I, c’est l’hypothèse du continu [4] (qu’il appelle à l’époque « Problème de M. Cantor relatif à la puissance du continu »). Le numéro II, c’est la cohérence des axiomes de l’arithmétique. L’un comme l’autre faisaient partie de ceux qu’il avait choisis d’évoquer à l’oral.

Et c’est un très jeune mathématicien autrichien, Kurt Gödel, qui va venir ébranler l’édifice idéal rêvé par Hilbert. En 1931, à peine âgé de 25 ans, il démontre que quelque soit le système d’axiomes choisis (y compris, donc, pour l’arithmétique, que Hilbert voulait prouver parfaitement cohérente), il existe toujours des énoncés dont on ne peut démontrer ni qu’ils sont vrais, ni qu’ils sont faux ! On dit qu’ils sont indécidables. Et l’hypothèse du continu de Cantor, le tout premier problème de Hilbert ? Et bien elle est justement de ceux-là ! Après Gödel, il faut donc se résoudre à ne jamais savoir si elle est vraie ou fausse. Et on peut donc construire une mathématique « avec » et une mathématique « sans » l’hypothèse du continu: les deux sont aussi raisonnables l’une que l’autre. Avec l’entrée en scène de Gödel, il est temps de se rappeler ce que Hilbert professait en préambule de ses problèmes:

Le fait remarquable dont nous venons de parler et certains raisonnements philosophiques ont fait naître en nous la conviction que partagera certainement tout mathématicien, mais que jusqu’ici personne n’a étayée d’aucune preuve, la conviction, dis-je, que tout problème mathématique déterminé doit être forcément susceptible d’une solution rigoureuse, que ce soit par une réponse directe à la question posée, ou bien par la démonstration de l’impossibilité de la résolution.

[…] Quelques inabordables que semblent ces problèmes, et quelque désarmés que nous soyons encore vis-à-vis d’eux aujourd’hui, nous n’en avons pas moins la conviction intime que l’on doit pouvoir les résoudre au moyen d’un nombre fini de déductions logiques.

[…] Nous entendons toujours résonner en nous cet appel: Voilà le problème, cherches-en la solution. Tu peux la trouver par le pur raisonnement. Jamais, en effet, mathématicien ne sera réduit à dire: « Ignorabimus ».

Et voilà que patatras ! Le prodige autrichien de la logique vient de démontrer qu’inévitablement, ignorabimus. Même si en y réfléchissant, son résultat n’est pas si pessimiste que ça: après tout, il a bel et bien réussi à démontrer que le premier problème de la liste est indémontrable !

Le nouveau bingo

Pour célébrer le centenaire du programme de Hilbert, l’Institut de Mathématiques Clay a publié en l’an 2000 une liste plus restreinte: 7 nouveaux problèmes pour le XXI^e siècle. Avec à la clef, pour chacun, une récompense d’un million de dollars (ce que ne promettait pas Hilbert). Et la nouvelle liste mêle habilement vieilles lunes et conjectures modernes. Ainsi, on trouve la grande interrogation de l’informatique théorique (P=NP) et des questions apparues dans la seconde moitié du XX^e siècle. Mais le premier des 7 problèmes n’est autre que l’hypothèse de Riemann… qui était déjà dans la liste de 1900 ! Une autre question irrésolue est encore plus ancienne, puisqu’elle concerne l’équation de Navier-Stokes, établie vers 1840 pour décrire l’écoulement des liquides… et toujours mal comprise aujourd’hui, par les physiciens comme par les mathématiciens. Depuis la publication de la liste, un seul des 7 problèmes a été vaincu: la conjecture de Poincaré, énoncée en 1904 et démontrée 99 ans plus tard par le Russe Grigori Perelman (qui a refusé la récompense promise, ainsi que la médaille Fields). Restent donc, pour le siècle à venir, 6 grands problèmes (et 6 millions de dollars à gagner) !

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Aller plus loin

• N.B. Suivant les sources, on peut trouver différentes dates pour la résolution des problèmes (selon qu’on retient telle ou telle partie de celui-ci, telle ou telle avancée partielle ou définitive). Les dates que j’ai retenues sont celles du livre ci-dessous.
• Une grande synthèse sur l’origine des 23 problèmes, et comment ils ont façonné les mathématiques tout au long du XX^e siècle: Le Défi de Hilbert: un siècle de mathématiques, de J. Gray chez Dunod. Facilement lisible au début, mais s’attaque ensuite aussi à des notions plus ardues.
• Les 23 problèmes (en français) dans les comptes-rendus du deuxième CIM (à partir de la page 67 du fichier).
• Un billet un peu plus vaste (sur la notion même de problème) sur le site Images des Maths. Et vous pouvez même y entendre (!!!) Hilbert prononcer à la radio sa fameuse formule « Wir müssen wissen, Wir werden wissen » . Dans un entretien datant de 1930… un an seulement avant que Gödel ne publie son théorème !

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[1] Le troisième problème, assez facilement compréhensible puisqu’il commence par le découpage d’un triangle avec des ciseaux, expliqué ici en 2 (2?) minutes. ↑
[2] La conjecture de Kepler n’est pas sans rapport avec celle de Kelvin sur les bulles, dont nous avons déjà parlé: elle postule que l’empilement des oranges sur les étals de tous les maraîchers du monde est bien la façon idéale de remplir l’espace avec des sphères. Un problème étonnamment simple et pourtant résolu seulement 400 ans après son énoncé, dans une preuve assistée par ordinateur, par Thomas Hales (qui démontre trois ans plus tard, et curieusement beaucoup plus facilement, le théorème du nid d’abeilles qu’on avait aussi évoqué). ↑
[3] Pour l’hypothèse de Riemann, voir aussi la vidéo en 2 (2?) minutes. Pour Goldbach, conjecture facile à énoncer: tout nombre entier naturel pair (autre que 2) peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers. Vous avez 2h. ↑
[4] Y a-t-il un infini plus grand que le nombre d’entiers mais plus petit que le nombre de réels ? Quelques explications sur la taille des infinis chez sciencetonnante. ↑