La montagne du roi

« Il est des lieux où souffle l’esprit »: voilà pour la citation chic de début d’article. Et celle de Maurice Barrès est d’autant plus adéquate ici qu’elle ouvre le roman intitulé La Colline inspirée ! Tout ce qu’il nous faut pour parler d’une petite montagne qui a nourri nombre de « génies du lieu » ! Certes, quand on dit Kaliningrad, son nom moderne, ça n’évoque pas grand chose. Mais si on entend Königsberg, c’est tout un imaginaire à la fois familier et brumeux: le duché de Courlande, les chevaliers teutoniques, les villes de brique rouge de la Hanse, le « pays noir et blanc » du Roi des aulnes de Michel Tournier. Et pour tous les mathématiciens du monde, évidemment, 7 ponts.

Encore une histoire de ponts

Il faut croire que les ponts sont propices à l’imagination des mathématiciens: nous avions déjà parlé du déclic de William Hamilton près du Broom Bridge, à Dublin. Le centre historique de Königsberg est construit entre les bras du fleuve Pregel, et s’étend sur les deux rives et deux îles. Pour relier ces 4 quartiers, sept ponts. Le Suisse Leonhard Euler,  le mathématicien le plus prolifique [1] du XVIIIe siècle (voire de tous les temps), a passé toute sa carrière entre l’Académie de Saint-Pétersbourg, fondée par le tsar Pierre le Grand, et celle de Berlin, fondée par le premier roi de Prusse Frédéric le Grand. Königsberg est à mi-chemin des deux capitales. Pas étonnant, donc, qu’il ait entendu parler d’une petite énigme qui court à propos des ponts de la ville prussienne: peut-on parcourir la ville en passant une et une seule fois par chacun des 7 ponts ?

Euler est le premier à publier la solution (non, on ne peut pas) en 1731, dans un court article (en latin, comme à son habitude). Il s’affranchit des détails géographiques, et réduit le problème à son squelette: chacun des 4 quartiers peut être représenté par un nœud; chaque pont par une arête reliant 2 nœuds.

Ce qui permet ensuite de généraliser la question à n’importe quel ensemble de nœuds reliés par des arêtes. Pourquoi n’y-a-t-il pas de solution pour Königsberg ? Si on ne doit passer qu’une fois par chaque pont, alors quand on arrive à un nœud par une arête, il faut pouvoir en repartir par une autre. Autrement dit, il faut forcément que chaque nœud comporte un nombre pair d’arêtes, sans quoi on se retrouverait coincé. Or à Königsberg chaque quartier est desservi par 3 ou 5 ponts: problème ! On peut cependant assouplir la contrainte, en n’imposant pas de finir au point de départ: alors seuls deux nœuds (le départ et l’arrivée) peuvent avoir un nombre impair d’arêtes. Sauf que ça ne marche toujours pas pour Königsberg… Mais on peut appliquer le même raisonnement pour ces petites enveloppes qu’il faut réaliser sans lever le crayon:

Les graphes qu’on peut ainsi parcourir ont pris le nom de cycles eulériens. Et comme il faut bien boucler la boucle: un peu plus tard, Hamilton, lui aussi, aura mis la main au problème des ponts: un graphe hamiltonien, c’est celui qu’on peut parcourir en passant une et une seule fois par chacun des nœuds.

Le plus beau est bien sûr qu’avec ce raisonnement logique appliqué à une petite énigme amusante — bref, un simple divertissement gratuit et parfaitement inutile, Euler vient de fonder un nouveau pan entier des mathématiques: la théorie des graphes (voire, plus largement, la topologie). Domaine promis, malgré ce début modeste, à un très bel avenir: quelques siècles plus tard, les graphes sont partout ! Ils peuvent décrire des réseaux télégraphiques, routiers, logistiques, électriques, ferrés, téléphoniques… et bien sûr les nouveaux réseaux, ceux de nos amis sur Facebook, ou le web tout entier, que les robots de Google doivent parcourir, site (nœud) par site, en passant par les liens (arêtes).

Le siècle d’or de l’Albertina

Le nom de Königsberg est resté puissamment associé à la naissance de la théorie des graphes. Mais la Prusse orientale n’avait même pas besoin d’Euler pour faire sa renommée: après tout, au XVIIIe siècle, la ville aux 7 ponts est aussi la patrie de Christian Goldbach, et d’Emmanuel Kant ! Et à l’époque son université, l’Albertina, est déjà une institution vénérable. En 1525 Albert de Brandebourg, le dernier grand maître des chevaliers teutoniques, avait décidé de séculariser les territoires de l’ordre pour en faire le petit duché de Prusse, vassal de la Pologne. Et dans sa jeune capitale, il a créé en 1544 une université, qui finira par porter son nom. Mais 150 ans plus tard, le duché a été jumelé à l’Électorat de Brandebourg, puis est devenu un royaume indépendant. Königsberg perd sa place au profit de Berlin… à 500 km ! La ville se retrouve provinciale et excentrée… et ça ne l’empêchera pas de devenir au XIXe siècle une véritable pépinière de talents !

En 1810, le mathématicien et astronome Friedrich Bessel prend à 25 ans la direction du tout nouvel observatoire. Outre ses travaux sur les fonctions mathématiques qui portent son nom, il sera le premier à mesurer la distance d’une étoile fixe à la Terre par la méthode de la parallaxe. Ses plus éminents collègues à l’Albertina sont le minéralogiste et cristallographe Franz Neumann [2], et le mathématicien Carl Jacobi. L’inventeur des intégrales elliptiques, spécialiste des équations aux dérivées partielles, va enseigner les mathématiques à Königsberg de 1826 à 1843. À eux trois, ces savants vont faire de la Prusse orientale un centre névralgique pour la physique et les mathématiques allemandes. Mais les sciences de la vie ne sont pas en reste: c’est à Königsberg que le naturaliste, géographe, explorateur Karl von Baer invente une nouvelle discipline: l’embryologie. Et Hermann von Helmholtz, qu’on connaît plutôt comme physicien (il sera le premier à formuler rigoureusement le principe de conservation de l’énergie) y enseigne la physiologie [3], et s’intéresse à la perception des sons et des couleurs.

On croise aussi l’ingénieur en hydraulique Gotthilf Hagen [4], qui a commencé par suivre des études de physique avec Bessel. En 1845, Gustav Kirchhoff, le futur fondateur de la spectroscopie, est encore étudiant quand il établit les fameuses lois qui portent son nom en électricité (dites aussi lois des mailles et des nœuds). Ont aussi fait leurs classes à Königsberg les futurs grands mathématiciens Ludwig Hesse, Rudolf Lipschitz et Hermann Minkowski. Ce dernier y est encore étudiant quand il remporte en 1883 un prix de l’Académie des Sciences de Paris pour son travail sur les formes quadratiques. Et un de ses condisciples, lui aussi natif de la ville, est encore plus célèbre: c’est David Hilbert, qui deviendra le nouveau chef de file des mathématiques allemandes, et que l’on croisera à Paris au tournant du siècle.

Mais à la fin du XIXe siècle s’opère un mouvement de balancier académique, prélude au déclin d’une ville de plus en plus isolée, à l’extrême-orient d’un jeune pays penchant inexorablement vers l’ouest: l’Allemagne. Minkowski comme Hilbert se retrouvent en poste à l’université de Göttingen, la patrie de Gauss. Ils y seront rejoints par deux autres natifs de Königsberg: les physiciens Arnold Sommerfeld, qui développer avec Niels Bohr le modèle fondateur de l’atome, et Emil Wiechert, le pionnier de la sismologie. Tous ceux-là construiront à Göttingen un nouvel éden de la physique mathématique… mais ce sera une autre histoire !


Aller plus loin

  • Un article récent sur la genèse du problème des 7 ponts [en anglais].
  • L’article d’Euler sur les 7 ponts de Königsberg est écrit en latin. Et donc logiquement, il se réfère au nom latin de la ville: Regiomontanus (in Borussia). Ce qui évoque forcément le célèbre astronome (et commentateur d’Aristote) allemand du XVe siècle. Lequel porte ce surnom en lieu et place de son nom de baptême: Johannes Müller von Königsberg… sauf que ce n’est qu’une coïncidence: ce Königsberg-là est en Bavière !
  • Faites le plein de vidéos sur la théorie des graphes chez maths & tiques.
  • Pour une fois qu’on peut mettre une bande-son à un billet (et même une deuxième), ne nous privons pas !

[1] Euler a laissé son nom à tellement de choses que sur Wikipedia la liste ne tient pas dans l’habituel petit cartouche à droite de sa biographie: il a fallu en faire une page entière ! Consolation mesquine: le roi de Prusse sera quand même déçu des contributions d’Euler en ingénierie, et ce dernier repartira en Russie. On ne peut pas être absolument génial partout.
[2] C’est le père de Carl (lui aussi étudiant à Königsberg), celui des conditions aux limites.
[3] Même si, de l’avis d’un de ses élèves, Max Planck, l’enseignement n’est pas son fort.
[4] Qui découvrit, indépendamment, la même loi que le Français Jean-Léonard-Marie Poiseuille sur les pertes de charge dues à la viscosité dans les écoulements.

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Une réflexion sur “La montagne du roi

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