Vies parallèles

À côté de la thermodynamique et de l’électromagnétisme, la mécanique des fluides mérite certainement de faire partie des plus beaux monuments de la physique du XIXe siècle. Et comme c’est quasiment toujours le cas, ces trois monuments ont été de labyrinthiques et patientes constructions collectives. Collectives, et parfois remarquablement simultanées ! Voyons les destins de deux scientifiques qui vont parvenir au même résultat, en même temps, mais par des chemins fort dissemblables.

Au XVIIe siècle, Evangelista Toricelli et Blaise Pascal avaient étudié les fluides au repos. Au XVIIIe, les Suisses Daniel Bernoulli et Leonhard Euler, ainsi que le Français Jean le Rond d’Alembert, avaient fait d’immenses progrès en parvenant à décrire les écoulements, et en dégageant quelques premiers grands principes. Mais ils avaient négligé une composante importante : la viscosité des fluides. Bernoulli a bien exprimé le débit qu’on peut obtenir au pied d’un réservoir d’une hauteur donnée. Pourtant, plus on allonge le tuyau placé en sortie, plus la vitesse diminue ! Bernoulli n’explique pas ça.

Il faut attendre les années 1820 pour que Henri Navier, dans un impressionnant travail théorique, parvienne à la première version des équations qui tiennent compte de la viscosité des fluides: si l’eau frotte sur les parois du tuyau, c’est normal qu’elle perde de l’énergie. À la même période Pierre-Simon Girard, l’ingénieur en chef du canal de l’Ourcq, a aussi fait quelques expériences. Mais dans les années 1830 tout cela est encore assez confus [1]. La question ne va pas tarder à être tranchée… deux fois !

Le médecin et l’architecte

Fils d’un charpentier parisien, Jean Léonard Marie Poiseuille intègre l’École Polytechnique à l’automne 1815. Pas de chance: en avril 1816, les élèves, un peu trop bonapartistes aux yeux de Louis XVIII, sont tous congédiés. Quand l’école rouvre finalement ses portes en janvier 1817, Poiseuille ne fait plus partie de la promotion. Il semble avoir déjà entrepris des études de médecine, mais il ne les achèvera que 11 ans plus tard. Sa thèse de doctorat (Étude sur la force du cœur aortique) porte sur la pression sanguine, qu’il étudie chez le chien et le cheval en développant un nouvel instrument: l’hémodynamomètre à mercure. Il observe ensuite in vivo le mouvement des globules rouges dans les capillaires, note l’élasticité des parois des artères. Paradoxalement, Poiseuille n’obtint jamais de véritable chaire universitaire: on ignore où et avec quels moyens il réalisa ses expériences. Mais ses travaux lui vaudront quand même d’être publié régulièrement dans les mémoires de l’Académie des Sciences, et nommé à l’Académie de médecine [2].

Le Prussien Gotthilf Hagen est né la même année que Poiseuille (1797). Lui aussi a entamé des études de mathématiques et physique, à l’université de Königsberg. Poiseuille avait suivi les cours de Cauchy et Ampère; Hagen de son côté a Bessel comme professeur: pas mal non plus ! Mais comme son « conscrit » français, il change rapidement de voie, et se tourne vers l’ingénierie hydraulique: il réussit coup sur coup les concours de géomètre-expert et de maître d’ouvrage. Ce qui lui vaut dès lors de superviser les aménagements de canaux, de digues et de ports un peu partout dans un royaume prussien en plein essor. Son grand-œuvre sera, en 1855, la construction du tout nouveau port militaire de la Prusse, qui vient de gagner un accès à la mer du Nord: Wilhelmshaven, tout près de Brême. Il devient aussi chargé de cours à Berlin, à la fois à l’Académie militaire et à celle d’architecture; et il peut faire profiter ses étudiants d’une approche très mathématique pour l’époque.

Dans les tuyaux

À la fin des années 1830, Poiseuille décide de simplifier son problème de circulation sanguine: exit les mesures in vivo, les globules qui compliquent tout, la flexibilité des artères et les ramifications des capillaires ! Il réduit la question à sa dimension physique la plus simple: il faut étudier l’écoulement de mélanges eau-alcool dans des petits tubes de verre. Ceux-ci sont censés reproduire les capillaires: il parvient à en faire fabriquer (mais par qui ?) de 600 microns à seulement 15 microns de diamètre ! Ces tubes très fins nécessitent des précautions expérimentales minutieuses, pour éliminer toutes les petites particules, les effets parasites de la tension superficielle, et s’assurer de mesurer correctement des débits très, très petits.

En 1839, Poiseuille dépose un manuscrit scellé avec ses premiers résultats [3]. Et c’est exactement la même année que Hagen publie lui aussi [4] une série d’expériences similaires, visant à mesurer la chute de pression dans de petits tubes de laiton. Peut-être l’ingénieur prussien a-t-il été motivé par la mésaventure d’Euler, un siècle plus tôt ? Le roi de Prusse avait reproché au Suisse ses piètres performances dans la conception des fontaines de son nouveau château de Potsdam: avait-il négligé les pertes de charge ?

Toujours est-il que Poiseuille et Hagen, nés la même année, mais avec des parcours scientifiques totalement différents, parviennent au même moment à la même conclusion ! Le débit dans le tuyau est proportionnel à la pression appliquée, inversement proportionnel à la longueur du tube, et augmente comme son diamètre à la puissance 4 ! Le coefficient de proportionnalité mesure l’inverse de la viscosité du fluide: dans un même tube, le débit sera évidemment plus grand avec de l’eau qu’avec de l’huile ou du miel.

Prenons un premier tube de 1 mm de diamètre, et un second de 0,5 mm de diamètre. On s’attend à ce que le second débite 4 fois moins que le premier, puisque sa section est 4 fois plus petite. Mais à cause de la viscosité il débite 16 fois moins ! Et si on prend un autre tube de 0,1 mm, il débitera 10 000 fois moins ! Bref, il faut beaucoup, beaucoup… beaucoup de petits vaisseaux capillaires pour distribuer le même débit que l’aorte.

Fin des problèmes de plomberie ?

Avec les travaux de George Stokes en 1845, les équations de la mécanique des fluides (qui seront donc dites de Navier-Stokes) sont considérées comme définitives [5]. Mais il faudra attendre encore plusieurs années avant qu’on montre que la loi expérimentale de Hagen et Poiseuille correspond bien à une des solutions de ces équations. Problème résolu ? Pas tout à fait… Les deux expérimentateurs ont sans doute eu l’intuition que leur loi ne fonctionnait bien que pour de tout petits tubes, ou alors pour des fluides très visqueux. Si on fait couler de l’eau dans un tuyau de 10 cm de diamètre, ça ne marche plus du tout. Pour autant, la dissipation d’énergie, elle, demeure: comme on ne peut pas étirer à l’infini les fils électriques depuis la centrale, on ne peut pas garder un bon débit si on s’éloigne trop du château d’eau.

Pourtant, ce ne sont pas les équations de Navier-Stokes qui sont en cause: elles sont bien vraies quelque soit la taille du tube. Mais c’est seulement à la fin du XIXe siècle qu’on réalisera, avec les travaux d’Osborne Reynolds, que la nature ne choisit pas toujours la solution la plus simple aux équations. Si l’écoulement est trop rapide, le fluide trop fluide ou le tube trop grand, l’écoulement devient turbulent: il y a des tourbillons partout, ils bougent sans arrêt… et on a du mal à les décrire correctement. Pour que la loi de Poiseuille et Hagen marche bien, il faut que l’écoulement reste laminaire: toutes les gouttes d’eau doivent garder des trajectoires bien parallèles.


Aller plus loin

  • Un article en anglais sur la genèse de la loi de Poiseuille, et le peu d’éléments biographiques connus sur le médecin, rassemblés par Marcel Brillouin (le père de Léon).
  • La postérité n’a pas été très généreuse avec Hagen: la loi de l’écoulement dans un tube est souvent réduite à « loi de Poiseuille ». Et l’ingénieur allemand a aussi fait en 1852 deux autres découvertes majeures sur la mécanique des matériaux granulaires, mais qui recevront d’autres noms: la saturation de la pression dans un silo est dite effet Janssen et la vitesse d’écoulement à la base d’un silo (ou d’un sablier) suit la loi de Beverloo.
  • Les déboires d’Euler avec Frédéric II de Prusse sont racontés sur l’excellent site du CNRS: Images des maths.
  • Poiseuille avait vu juste en notant la déformation des parois artérielles lors de l’afflux sanguin: on sait aujourd’hui qu’en s’élargissant, un tube flexible supporte mieux qu’un tube rigide les fortes surpressions imposées par les battements cardiaques. Et un raidissement des artères pose donc des problèmes de santé.

[1] En fait Navier et Girard se trompent même tous les deux puisqu’ils annoncent que la vitesse moyenne dans un tube est proportionnelle à son diamètre.
[2] À l’Académie des Sciences en revanche, toutes ses candidatures seront rejetées.
[3] Ces résultats seront publiés au compte-gouttes jusqu’en 1846.
[4] Dans les comptes-rendus de l’Académie de Prusse, en allemand.

[5] Définitivement posées, mais toujours pas bien résolues: c’est l’un des six prix mathématiques du Millenium encore en suspens.

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Une réflexion sur “Vies parallèles

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