La meilleure série du monde

Souvenez-vous: nous fêtons cette année les 250 ans de la naissance de Joseph Fourier, préfet de l’Isère, que nous avons laissé en 1822, alors qu’il était enfin parvenu, après des années d’efforts, à publier son monumental ouvrage sur la propagation de la chaleur.

Késako « la propagation de la chaleur » ? Rien de très sorcier, au premier abord. Par exemple, prenons une barre métallique, froide, et plongeons chaque extrémité dans de l’eau bouillante. Combien de temps faut-il avant que le milieu soit chaud aussi ? Il a donc fallu attendre le début du XIXe siècle pour enfin trouver l’équation qui décrit ce phénomène très simple. Sauf que pondre une équation, c’est bien… mais après, encore faut-il la résoudre !

Le temps et l’espace tricotés

Et c’est là que les vraies difficultés commencent pour Fourier. Si on fait des mesures, on observe que notre barre en acier se réchauffe d’abord sur les côtés, puis la chaleur se propage vers le centre: rien de plus logique. Le temps qu’il faudra pour qu’elle soit uniformément brûlante dépend à la fois de sa capacité à transmettre la chaleur et de sa capacité à l’emmagasiner. Alors pourquoi est-ce si compliqué de faire le calcul ? Parce qu’à chaque instant la température est différente suivant l’endroit où on la mesure. Et à chaque endroit, la température varie dans le temps.On dit que l’équation de la chaleur est une « équation aux dérivées partielles »: les variations spatiales et temporelles sont inextricablement liées. Alors certes, les aînés que sont D’Alembert et Lagrange ont déjà trouvé une équation du même genre, en étudiant les vibrations d’une corde (de violon ou de piano, par exemple). Mais celle de Fourier n’est pas tout à fait pareille. Et son équation à lui, on a beau la regarder dans les yeux… aucune solution évidente ne vient à l’esprit. Comme il l’écrit, « les méthodes connues ne fournissent pour ainsi dire aucune ressource ».

L’harmonie derrière le chaos

Heureusement, notre préfet va avoir une intuition géniale. Et l’astuce qu’il va introduire pour résoudre son équation va révolutionner non seulement la physique, mais aussi les mathématiques. En y regardant de plus près, l’équation de la chaleur a quand même quelques solutions pas trop compliquées: c’est le cas si la température varie d’un point à un autre de manière sinusoïdale. Le sinus, le cosinus: même si les collégiens n’aiment pas trop ça, ce sont des fonctions simples, bien connues, et avec des propriétés pratiques. Le problème… c’est qu’il y a plein de situations où, clairement, un sinus ne convient pas ! Comme, au hasard, notre barre métallique plus haut. Cela dit, Fourier est parvenu à une équation « linéaire »: ça veut dire que si on connaît 2 solutions, alors leur somme est aussi une solution. Bingo: voilà un angle d’attaque !

Fourier s’inspire-t-il du précédent des épicycles ? Même après avoir constaté que les trajectoires des planètes autour de la Terre n’étaient pas de simples cercles, les astronomes grecs avaient réussi à s’accrocher à cette perfection en supposant que chaque planète parcourait un petit cercle… autour d’un grand cercle ! En superposant assez de cercles, on arrivera bien à reproduire n’importe quelle trajectoire, aussi biscornue soit-elle.

Le préfet-physicien va faire un petit pas pour la thermodynamique, et un grand pas pour les mathématiques: il démontre que n’importe quel profil de température, aussi irrégulier soit-il, peut s’écrire comme la somme de 2, 3, 125 ou au pire une infinité de sinusoïdes.  Et donc plutôt que de raisonner sur le « vrai » profil de température, il va raisonner sur les coefficients qu’il trouve devant chacune des sinusoïdes. Cette fois c’est bon, pour peu qu’on accepte d’en additionner beaucoup (voire plus), on peut calculer la solution à n’importe quel problème de chaleur !

Et cette opération de décomposition en fonctions simples, on appellera ça une série ou une transformée de Fourier. Mais évidemment, si c’est vrai pour une variation de température, c’est vrai pour n’importe quel signal. Par exemple de la musique ? Eh oui, puisqu’on peut représenter un son comme une amplitude de vibration en fonction du temps, alors on peut lui appliquer une transformée de Fourier. Qu’est-ce qu’on obtient ? La liste des fréquences que « contient » dans ce son, et en quelle quantité: on appelle ça un spectre. Par exemple, celui du diapason nous donnera un grand pic à 440 Hz. Et pour un son plus compliqué… les petites barres de l’égaliseur sont là pour nous indiquer s’il les aigus sont trop faibles ou les basses trop fortes.

Ensuite ? Eh bien une fois qu’on a le spectre d’un signal, il ne reste plus qu’à jouer avec… le filtrer, en amplifier certaines composantes, en réduire d’autres, rien de plus simple ! Avec l’ouvrage de 1822 on peut dater, avec presque un siècle d’avance, les prémices d’une discipline encore à venir: le traitement du signal. Des harmoniques sphériques à la réduction du bruit, des ondelettes à la retouche d’images, la filiation de l’analyse de Fourier sera riche de retombées.

Le grand poème mathématique

On l’avait vu dans le billet précédent, il avait fallu 15 ans à Fourier pour convaincre définitivement ses pairs[1] de la valeur de ses travaux. Les séries et transformées qui portent son nom vont d’abord donner matière à penser aux mathématiciens. Puis les physiciens vont prendre l’habitude d’appliquer les méthodes de l’analyse mathématique à leurs problèmes. Lord Kelvin salue dans l’œuvre du Français un « grand poème mathématique ». Henri Poincaré, peut-être le meilleur successeur au poste de mathématicien-physicien, souligne qu’en science comme ailleurs, le chemin compte parfois plus que la destination:

Les résultats qu’il a obtenus sont certes intéressants par eux-mêmes, mais ce qui l’est plus encore est la méthode qu’il a employée pour y parvenir et qui servira toujours de modèle à tous ceux qui voudront cultiver une branche quelconque de la physique mathématique.

Et quel héritage ! À mesure sur la physique se mathématise et que le besoin d’analyser des signaux se fait sentir partout, les séries (ou les transformées) de Fourier vont envahir tous les domaines:

  • Un arc-en-ciel sur un CD ? Fourier !
  • Toute l’électronique ? Fourier !
  • La radio FM ? Fourier !
  • La découverte de la structure de l’ADN ? Fourier !
  • Les propriétés du fond diffus cosmologique ? Fourier !
  • Les images JPEG ? Fourier !

Décidément, 250 ans après, il est temps que Joseph se fasse un prénom[2].


Aller plus loin

  • Si vous passez par Auxerre, la ville natale  de Fourier organise une exposition spéciale pour son 250ème anniversaire. Et de nombreuses conférences seront organisées un peu partout: la liste des événements ici. Et les conférences de l’académie des sciences sont accessibles en vidéos ici.
  • Tout sur Fourier est dans le pavé de 700 pages, mais qui se lit très fluidement, de J. Dhombres et J.-B. Robert, aux éditions Belin (coll. Un savant, une époque). Et le traité analytique de la chaleur se trouve en ligne sur Gallica.
  • C’est bien joli tout ça, Fourier a trouvé une formule mathématique qui donne les composantes du spectre en fréquences. Mais en pratique, on fait comment, on calcule à la main ? Eh bien non, on attend le prochain billet !

[1] Difficile notamment de convaincre Siméon Poisson, célèbre pour avoir aussi rejeté les travaux d’Évariste Galois.
[2] Et ce d’autant plus que l’université de Grenoble qui portait son nom a été rebaptisée.

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2 réflexions sur “La meilleure série du monde

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