Les belles carrosseries

Alors que j’essayais tant bien que mal de dessiner les petites vignettes de la bannière du blog, j’ai fait un geste que beaucoup de gens bien plus compétents font tous les jours sur plein de logiciels différents: j’ai cliqué une fois, deux fois, trois fois… et hop, une ligne courbe est apparue !
Rien de plus facile évidemment, puisqu’il suffit de choisir l’icône « courbes de Bézier ». Et du coup je me suis demandé « tiens mais c’est qui, ce Bézier »: un géomètre des Lumières qui échangeait des lettres avec Euler ? Un confrère de Gauss, penché lui aussi sur les espaces courbes ? À moins que ce soit la ville dont les anglophones auraient par mégarde escamoté le « s » ?

Le losange et les chevrons

Eh bien rien de tout cela. Pierre Bézier est né en 1910, il était ingénieur en mécanique et il travaillait dans l’automobile — chez Renault, plus précisément. D’ailleurs comme d’habitude la même invention est faite indépendamment et à peu près au même moment par plusieurs personnes: on devrait donc aussi créditer Paul de Casteljau qui était, lui, ingénieur chez Citroën[1] — comme chaque marque voulait garder ses procédés secrets, il aura fallu un certain temps pour que leurs inventions mathématiques soient rendues publiques. Et finalement pas de jaloux: on parle de courbes (ou de surfaces) de Bézier, mais on les calcule grâce à l’algorithme de Casteljau. Mais quel rapport entre mon logiciel, les mathématiques et les voitures ?

À la fin des années 50, l’industrie automobile est à un tournant: pendant des décennies, les carrosseries (et le reste) ont été dessinées à la main. Le dessin donne une maquette, sur laquelle on prend des cotes dans tous les sens, pour finalement la transformer en un moule grandeur nature, qui va servir à fabriquer les pièces. À chaque étape, forcément, on perd en précision… ce qui va finir par se ressentir à l’assemblage. Mais voici qu’apparaissent les toutes premières machines de découpe à commande numérique. On va citer Bézier lui-même, puisqu’il résume très bien la question, et que son énumération est assez poétique: 

Le té, l’équerre, la règle, le compas, le pistolet, le trusquin, le ciseau, le bédane, la gouge, le grattoir, la lime, le rifloir, la plane, le wastringue, le réglet, le rapporteur, la sauterelle, le niveau et le pied à coulisse devraient faire place à la servo-commande, à la machine-outil et, par-dessus tout, à l’ordinateur.

En clouant les lattes

Le problème, c’est que ce qu’on sait faire tracer facilement aux nouvelles machines, ce sont des courbes simples: une droite, un cercle, un cylindre. Comment reproduire les lignes subtiles des stylistes, de manière automatisée ? Sans compter que le système devra être facilement utilisable par les dessinateurs et les mécaniciens, qui ne sont pas mathématiciens. Pierre Bézier a obtenu un budget conséquent pour s’atteler au problème. Oui, mais nous sommes à l’orée des années 60: ce qu’il parvient à s’offrir, c’est un calculateur électronique doté d’une mémoire vive colossale de… 8 kilo-octets ! Donc modéliser une courbe par une série de plein plein plein de points les uns derrière les autres… ça ne va pas être possible. Bref, comment représenter de manière simple et économique une courbe compliquée ?

En fait il existe bien déjà une méthode mécanique pour tracer une courbe de manière reproductible: on utilise une petite latte en bois, ou cerce, et on la déforme en fixant des clous, ou des petits ressorts… de quoi dessiner notamment de beaux fuselages d’avion. Cette petite latte, en anglais, s’appelle une spline. Et c’est le mot spline qui est resté en français pour désigner les fonctions mathématiques comme celles que Bézier et ses collègues vont formaliser.


Bézier et Casteljau vont reprendre cette ingénieuse idée de s’appuyer sur un petit nombre de points pour « forcer » une courbe. Dans le cas le plus simple, il suffit donc d’en poser 3 ! Géométriquement, voici comment se fait la construction:

L’extrémité gauche de la « corde » verte parcourt le segment entre le premier et le second point, et son extrémité droite celui entre le second et le troisième point. Et le stylo rouge se déplace lui-même le long de la corde verte. Résultat: une courbe lisse, régulière, tangente aux deux segments qu’on avait tracés. Et que l’on peut modifier globalement rien qu’en déplaçant un des points.

Une fraiseuse dans mon laptop

Mieux, rien n’empêche de raffiner autant qu’on veut en prenant 4 points de contrôle (courbe cubique) ou même plus ! Mathématiquement, la formulation de Bézier et Casteljau recyle les « polynômes de Bernstein » qui avaient été introduits en 1912. Elle a plein de propriétés très pratiques (comme le fait de le pas dépendre du repère choisi), mais elle reste légère et assez simple: on peut l’écrire facilement sous la forme d’une courbe paramétrique

Et ensuite, rien de plus simple que de combiner des courbes de Bézier en 3 dimensions pour en faire des surfaces courbes (pour une voiture, c’est mieux). Et une fois la théorie mathématique transformée en un logiciel (Unisurf), c’est le raz-de-marée de la CFAO (Conception et Fabrication Assistée par Ordinateur). 50 ans plus tard, évidemment, les courbes et les surfaces de Bézier se retrouvent absolument partout dans l’industrie. Mais pas seulement…

À la fin des années 70, le jeune informaticien John Warnock s’intéresse à son tour au rendu graphique sur ordinateur. Avec quelques collègues il décide de mettre au point un langage pour décrire des images vectorielles (sur lesquelles on peut zoomer et dézoomer à l’infini) et les imprimer. Et parmi les images à imprimer, il y a bien sûr les lettres de l’alphabet… Comment tracer les caractères de ces nouvelles polices ? Nos ingénieurs vont aller récupérer les idées de Bézier et Casteljau ! On peut dessiner puis stocker la forme de chaque lettre, avec un nombre limité de points de contrôle[2].

Le nom de ce nouveau langage ? Postscript. Et comme Xerox n’a pas voulu commercialiser son invention, Warnock va créer sa propre société. Qu’il baptise du nom de la rivière qui coule près de chez lui en Californie: Adobe[3]. Entreprise qui ne va pas tarder à développer, en plus de ces polices d’impression, le langage pdf et quelques-uns des logiciels les plus connus pour le dessin et la manipulation d’images… Et voilà comment les équations de Bézier et Casteljau se sont échappées des ateliers automobiles pour se retrouver dans l’ordinateur de tout un chacun !


Aller plus loin

  • Une pareille (r)évolution, dans une industrie aussi lourde que l’automobile, n’allait pas de soi. Relisons encore Bézier (qui, selon certains comptes-rendus, s’était attelé à cette tâche précisément parce qu’il avait été plus ou moins relégué au placard):

Il fallait aussi compter sur la bonne volonté, ou la mauvaise, des opérateurs et des cadres de tout rang qu’il faudrait convaincre de se servir d’un procédé qui rompait avec de très anciennes habitudes ; nul doute que, sur le plan industriel, il faudrait examiner avec grand soin les implications financières.

L’équilibre entre l’audace et le sang froid est souvent difficile à réaliser.

  • Les détails mathématiques peuvent être trouvés dans 2 volumes de la série « Mathématiques et CAO » (Hermès): le 2 (Formes à pôles) écrit par Casteljau et le 4 (Courbes et surfaces) par Bézier. Bien des années après ses premières intuitions, Pierre Bézier finira par passer sa thèse… en 1977: il a alors 67 ans ! On trouve dans cet article deux lettres qu’il rédigea peu avant son décès pour détailler les circonstances de son invention.
  • Si vous n’avez pas les moyens pour les logiciels d’Adobe, n’hésitez pas à essayer Gimp ou Inkscape !
  • Poussons jusqu’au degré 5 des courbes de Bézier: n’est-ce pas fascinant à regarder en boucle ?

[1] Et même encore quelques autres, qui officiaient chez General Motors et chez Boeing.
[2] Et, bien sûr, ça marche même pour des caractères un peu plus compliqués à dessiner que ceux de l’alphabet latin: [3] La rivière ayant elle-même pris le nom espagnol (et lui encore dérivé de l’arabe) d’une brique de terre et paille séchée au soleil.

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