À la casserole !

Moi qui aime les rapprochements incongrus, j’ai été très content, il y a quelques années, d’assister à une conférence intitulée « Géologie, physique statistique et cuisine ». Et comme c’était au Japon, ça commençait naturellement par quelque chose comme ça:

La soupe primordiale

1900: Henri Bénard a 20 ans et quelque, il sort de l’école normale supérieure, et il a été embauché à quelques encablures de là, au Collège de France. En tant qu’assistant de Marcel Brillouin (le père de Léon), il est chargé de reproduire les expériences de Poiseuille pour les leçons de mécanique des fluides. C’est un peu par hasard qu’il observe un jour le mouvement étonnamment régulier des petites particules de graphite dans un bain de paraffine fondue.

Ni une ni deux, le voilà qui se penche de plus près sur une question très négligée: le transfert de chaleur par convection[1]. Comme il le dit lui-même en introduction de son article, le sujet « a été fort peu étudié d’une façon systématique. Il semble qu’on ne s’en soit préoccupé que pour l’éviter. » Au début du XIXe siècle, Joseph Fourier était parvenu à décrire ce qui se passe quand la chaleur se propage dans un matériau sans que celui-ci ne bouge (par exemple entre les deux extrémités d’une barre de fer): ça, c’est la conduction thermique. Mais si vous avez déjà fait chauffer de l’eau, vous avez pu constater que justement, ça se met à bouger (avant même de bouillir) — et bien sûr ça se voit encore mieux si on ajoute du miso, du riz ou des lentilles. Voilà donc un exemple de transfert thermique par convection. À priori rien de bien mystérieux: l’eau chaude est moins dense que l’eau froide, or on chauffe par en-dessous, donc l’eau chaude « a envie de monter ». Résultat, des panaches chauds qui montent et des panaches froids qui descendent, et évidemment, c’est bien plus efficace que la conduction pour évacuer la chaleur.

Encore des cellules

Comment modéliser tout ça et expliquer un brassage qui semble régulier ? Comme à l’époque la soupe miso n’est pas encore facile à trouver dans le quartier latin, Bénard remplit une cuve d’une très fine couche (1 mm) d’alcool, de paraffine ou de spermaceti fondu qu’il chauffe par en dessous. Pour visualiser l’écoulement, il disperse des petits spores de lycopode ou de la poudre de graphite et il conçoit plein de dispositifs optiques très ingénieux. Résultat: s’il chauffe suffisamment, apparaissent des structures tout à fait remarquables, et stables dans le temps: les panaches chauds et froids semblent s’organiser en petits polygones presque parfaits !

C’est joli, non ? Tellement joli que le jeune doctorant lui-même ne cherche pas tellement à développer une théorie pour expliquer ses observations, et semble plus intéressé par ses techniques de visualisation (grâce auxquelles il est parvenu à mesurer des variations de 1 micron dans la hauteur du liquide !). Il se focalise aussi sur la régularité des motifs, dont il étudie en détail les propriétés géométriques… pour finir par y voir des analogues à la structure des tissus vivants (et de fait, on parlera bientôt de « cellules de convection »). Mais finalement, même son jury de thèse trouve le travail plutôt décevant, et Bénard passera bientôt à d’autres sujets en mécanique des fluides[2].

Il faut déjà attendre 15 ans avant que cette expérience pionnière soit exhumée par un théoricien: c’est Lord Rayleigh[3] qui s’y colle. Au tournant du siècle, il est l’un des physiciens les plus originaux et les plus productifs, mais contrairement à beaucoup de ses contemporains Rayleigh n’est pas associé à la naissance d’une grande théorie ; il n’a pas d’unité ou de théorème à son nom. Et pourtant son œuvre foisonnante préfigure des pans entiers de la physique moderne… il s’est notamment fait une spécialité de l’étude de ce qu’on appelle les « instabilités ».

Suivez cette goutte !

Qu’est-ce qui est instable ici ? Eh bien la situation de départ, où rien ne bouge: si la chaleur diffuse gentiment des couches chaudes du bas vers les couches froides du haut, comme prédit par Fourier, alors tout va bien. D’ailleurs si on ne chauffe pas assez, ce statu quo va perdurer indéfiniment. Du coup, pourquoi tout s’emballe si on chauffe trop ? Comme dans nombre de ses travaux, le calcul fait par Rayleigh (qui n’est pas très simple) s’appuie sur un modèle de joli raisonnement physique.

Supposons donc que rien ne bouge mais qu’il y a un petit défaut quelque part (après tout, ce n’est pas facile de chauffer de manière parfaitement homogène). En bas de la cuve, une petite goutte d’eau est un peu plus chaude que ses voisines. Donc elle est un peu moins dense. Donc la poussée d’Archimède va la faire monter. Mais si elle monte… elle se retrouve à baigner dans de l’eau encore plus froide qu’au départ ! Donc la poussée d’Archimède va encore augmenter… et la goutte va continuer à monter. De de plus en plus vite ! Voilà qui va finir par créer un véritable panache ascendant. Et bien sûr si ça monte d’un côté, il faut bien compenser ailleurs avec un panache froid qui descend. C’est parti: tout le liquide va se mettre en mouvement.

Problème résolu ? Pas tout à fait: si on se contente de ça, la convection devrait apparaître même si on chauffe très très peu, or ce n’est pas le cas. Reprenons notre goutte en train de monter: qu’est-ce qui peut la ralentir ? Eh bien d’abord le liquide est visqueux: s’il y a trop de frottement elle va finir par s’arrêter. Et puis comme notre goutte chaude baigne dans du liquide plus froid, elle cède en permanence de la chaleur par contact… si elle refroidit trop vite, elle n’a plus de raison de monter ! Dès que la viscosité ou la diffusion thermique seront trop fortes, elles empêcheront le liquide de se mettre en mouvement. Cette fois on a tout: on peut laisser Rayleigh faire le calcul complet. Et résumer le problème sous la forme d’un critère assez simple: pour savoir si un liquide va se mettre en mouvement ou pas sous l’effet de la chaleur, il suffit de calculer le nombre ci-dessous.

En haut de la fraction, il y a tous les facteurs qui favorisent la convection: la capacité du liquide à se dilater (α), la hauteur de la cuve (H) la différence de température entre le bas et le haut (ΔT). Et on compare tout ça à ce qui freine: en bas de la fraction, la diffusivité thermique (κ) et la viscosité (ν). Quand ce nombre (de Rayleigh) est tout petit, rien ne bouge. S’il dépasse une certaine valeur, hop: on voit apparaître les cellules de Bénard. Et s’il augmente encore ? Eh bien les jolies structures bien stables se mettent à bouger n’importe comment, et on finit par voir de la convection turbulente, ce qui ressemble à ça:

Le placard

Las ! Comme les expériences initiales, le travail de Rayleigh ne va pas vraiment faire florès. Pendant le demi-siècle qui suit, les physiciens ont plutôt les yeux tournés vers les particules fondamentales. E pendant tout ce temps, notamment, personne ne songera à remarquer que le calcul de Rayleigh… ne s’applique pas à l’expérience de Bénard ! En effet pour faire simple le Britannique a considéré une situation idéale et symétrique, alors que Bénard avait laissé le haut de la cuve à l’air libre (pour mieux regarder ce qui se passait). Résultat: avec son dispositif on ne peut pas négliger l’influence de la tension de surface ! L’expérience originelle ne représente donc même pas ce qui s’appelle quand même « la convection de Rayleigh-Bénard »… mais celle de Bénard-Marangoni ! Mais qu’importe: les années 60-70 voient fleurir l’étude des systèmes dynamiques, des instabilités, de la transition vers le chaos, puis de la matière molle. De nos jours, plus de 1000 articles paraissent chaque année, qui contiennent les mots « Rayleigh-Bénard ». C’est donc le moment idéal pour citer la conclusion du rapport sur sa thèse:

Bien que la thèse principale de M. Bénard d’ailleurs fort curieuse, ne paraisse pas susceptible par ses développements ultérieurs, d’ajouter grand chose de nouveau à nos connaissances, le Jury a été unanime à estimer qu’il ne fallait pas prendre cette thèse comme la mesure définitive de ce que M. Bénard peut donner.

Mais au fait, comment on passe de la soupe miso à la géologie ? C’est qu’entre-temps, on a quand même fini par réaliser que les mécanismes de Rayleigh-Bénard étaient omniprésents, et on retrouve des cellules de convection partout: elles régissent les mouvements atmosphériques comme les courants marins, on en voit aussi bien au-dessus des radiateurs qu’à la surface du Soleil ! Bon, mais toutes celles-ci on les voit assez facilement. L’intérêt de l’analyse de Rayleigh, c’est de trouver aussi celles que l’on ne peut pas voir.

La casserole géante

Les expériences de Bénard et le calcul de Rayleigh sont l’un des ingrédients physiques qui vont révolutionner les sciences de la Terre, puisqu’elles avaient manqué, et à Lord Kelvin quand il calculait l’âge de notre planète, et à Alfred Wegener quand il soutenait la dérive des continents. On l’a vu, il faut calculer le nombre de Rayleigh pour savoir si un liquide va entrer ou non en convection. Et si on prend autre chose qu’un liquide ? Par exemple: les roches du manteau terrestre. Elles sont tout ce qu’il y a de plus solide… mais ça n’empêche pas de leur attribuer une viscosité (très, très grande). Comment  faire ?

Voici un autre exemple de solide qui coule: on mesure que la mer de Glace avance d’environ 100 m par an, et on peut en déduire que la viscosité de la glace est de l’ordre d’un million de milliards de fois plus grande que celle de l’eau (encore plus que la poix, donc). Alors puisqu’on parle de glace: la Scandinavie a justement « récemment » perdu sa calotte glaciaire… c’est en mesurant à quelle vitesse le sol remonte qu’on peut estimer la viscosité du manteau (encore un milliard de fois plus grande que la glace).

Reste à faire quelques hypothèses sur la différence de température entre le haut et le bas du manteau et sur les propriétés des roches à grande pression… et on fait le calcul. Résultat: le nombre de Rayleigh vaut plus d’un million. Ce n’est pas très précis mais peu importe: c’est très, très au-dessus du seuil de convection. Oui, le manteau est visqueux au point d’être solide. Mais il est aussi très, très épais, et il y a 3 000 degrés d’écart entre le haut et le bas. Donc, comme la soupe miso, il est en mouvement. De l’ordre de quelques centimètres par an. C’est suffisant pour entraîner dans la danse la partie froide et cassante à la surface: les plaques tectoniques. Et voilà enfin comment expliquer la dérive des continents chère à Wegener. Le mouvement des plaques n’est que la partie visible de l’immense casserole de 3 000 km d’épaisseur qui se cache sous nos pieds, et qui bouillonne tout doucement.


Aller plus loin

    • On trouve très très peu de photos de Bénard, mais quand même quelques éléments biographiques, dont cet article de José-Eduardo Wesfreid [en anglais] publié pour le centenaire de la découverte des cellules de convection. Le premier article de Bénard est consultable en ligne, tout comme celui de Rayleigh [en anglais aussi, évidemment].
    • Dans la convection de Rayleigh-Bénard, les cellules de convection sont symétriques: les panaches ascendants chauds ressemblent exactement aux panaches froids descendants. Dans le manteau terrestre c’est très différent: ce qui descend, ce sont d’immenses segments de plaques tectoniques dans les zones de subduction; alors que ce qui monte, ce sont de tout petits panaches cylindriques au niveau des points chauds. Pourquoi cette asymétrie ?
      Eh bien dans son expérience, Bénard chauffe par en-dessous. Or le manteau terrestre reçoit bien un peu d’énergie du noyau, en-dessous… mais il est surtout chauffé de l’intérieur ! Les éléments radioactifs comme le thorium, l’uranium et le potassium n’y sont pas très concentrés, mais sur tout ce volume, ça finit par chauffer ! Résultat, les mouvements ascendants et les mouvements descendants ne sont pas symétriques. Plus de détails sur le site planet-Terre.

    [1] Même si le mot lui-même est déjà ancien: il a été introduit dans les années 1830 par le chimiste anglais William Prout, par ailleurs plus connu pour ses intuitions quant à la classification des éléments
    [2] D’abord à Lyon, puis de nouveau à Paris, il continuera à développer des techniques de visualisation pour étudier la dynamique des tourbillons… et il semblerait qu’il ait été le premier à décrire ce qu’on appelle aujourd’hui une allée de von Kármán !
    [3] Qu’on déjà croisé en train de chercher des gaz rares (ce qui, bizarrement, est ce qui lui a valu son prix Nobel).

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